派遣社員としての業務中に発症した上腕骨外側上顆炎について、派遣先を退職後に傷病手当を申請することは可能です。傷病手当は、業務上の負傷や疾病により労働者が休業する場合に支給されるもので、派遣社員であっても適用されます。ただし、申請には以下の条件を満たす必要があります。

1. 業務上の負傷または疾病であること: あなたの場合、工具を使用する仕事で発症した上腕骨外側上顆炎は、業務上の負傷と認められる可能性が高いです。
2. 労働者の状態: 傷病手当を受けるには、病気やけがのために働くことができず、賃金が受けられない状態であることが必要です。
3. 継続した休業: 連続して3日以上休業し、4日目以降も休業が続く場合に支給されます。

申請には、医師の診断書や休業証明書、派遣会社からの賃金支払い停止証明書などが必要です。派遣会社による書類の提出も必要となる場合がありますので、担当者と連絡を取りながら進めることをお勧めします。

また、労災保険の適用についても検討する価値があります。派遣社員であっても、業務上の負傷や疾病については労災保険の対象となる場合があります。労災保険の申請には、派遣会社が労働者災害補償保険に加入していることが前提となります。

最終的な判断は、労働基準監督署や社会保険事務所などの専門機関に相談することをお勧めします。彼らは、あなたの状況に基づいて最適なアドバイスを提供してくれるでしょう。