懲戒解雇は、労働者が重大な規則違反や業務上の過失を犯した場合に、雇用主が労働者を解雇することを指します。懲戒解雇を行うには、以下の法的要件を満たす必要があります。

1. 合理的な理由: 懲戒解雇には、労働者の行為が会社の規則や法律に違反しているなど、合理的な理由が必要です。
2. 手続きの遵守: 懲戒解雇の手続きは、労働基準法や会社の就業規則に従って行われる必要があります。これには、労働者に対する事前の警告や、懲戒委員会の設置などが含まれます。
3. 労働基準監督署への届出: 懲戒解雇については、労働基準監督署に対して解雇理由を記載した書類を提出する必要があります。

ご質問のケースでは、会社側は欠勤が続いたことを理由に懲戒解雇を行いましたが、労働者側は体調不良（鬱病）を理由に欠勤していたと主張しています。この場合、労働者が体調不良を証明する診断書を提出していないため、会社側の判断が合理的であるかどうかが問題となります。

懲戒解雇を受けた後の再就職については、懲戒解雇の理由が再就職先の企業に知られる可能性があるため、再就職が難しくなることがあります。特に、懲戒解雇の理由が重大な規則違反や不正行為であった場合、再就職先の企業が懲戒解雇の事実を重視する可能性が高くなります。

また、懲戒解雇によって発生する金銭的補償については、労働基準法に基づく未払い賃金の請求は可能ですが、懲戒解雇自体に対する補償は一般的には認められていません。ただし、懲戒解雇が不当であると判断された場合には、労働審判や訴訟を通じて、解雇の無効を主張し、損害賠償を請求することができます。

以上の情報を踏まえると、ご質問の労働者は、懲戒解雇の法的妥当性を争うために、労働審判や訴訟を検討することが重要です。また、未払い賃金の請求については、労働基準監督署や労働組合の支援を受けることで、法的な手続きを進めることができます。