会社を辞める際に診断書の提出を求められることは、日本の労働法において特に定められているわけではありません。しかし、会社側が診断書を求める場合、それは労働者の健康状態を確認し、適切な対応を取るための一環として行われることが多いです。具体的には、労働者が健康上の理由で辞職する場合、会社はその理由を確認し、必要に応じて労災保険や健康保険の手続きを行う必要があります。

診断書を提出しないことで会社を辞めることができないかという点については、基本的には労働契約の解除は双方の合意に基づいて行われるべきです。しかし、会社側が診断書の提出を条件として辞職を認める場合、それは労働者の健康状態を確認するための合理的な要求と考えられることがあります。そのため、診断書を提出しないことで会社を辞めることができないという状況は、会社側の方針や判断によるところが大きいです。

また、毎日吐き気、頭痛、腹痛がある場合、病院で診断書を書いてもらえるかという点については、医師がその症状を認め、診断書の発行が必要と判断した場合には、診断書を発行してもらえます。ただし、診断書の発行には医師の判断が必要であり、症状が軽度である場合や、一時的なものである場合には、診断書の発行が難しいこともあります。そのため、症状が深刻である場合には、早めに医師の診察を受けることをお勧めします。

以上の点を踏まえると、会社を辞める際に診断書の提出を求められる場合、それは会社側の合理的な要求と考えられることがあります。また、症状が深刻である場合には、早めに医師の診察を受け、診断書を発行してもらうことが望ましいです。