日本の労働法において、会社が従業員の扶養家族の診断書を求めることは一般的には認められていません。労働基準法第109条により、個人情報の保護が定められており、特に健康状態に関する情報はプライバシーの重要な一部とされています。

しかし、特定の状況下では、会社が家族の健康状態に関する情報を求めることがあります。例えば、家族の健康状態が従業員の業務遂行能力に影響を与える可能性がある場合や、海外転勤などの特殊な状況で家族の健康状態が転勤の可否に影響を与える場合などです。

あなたの場合、父親がシンガポールへの転勤を断る理由として母親の健康状態を挙げています。このような場合、会社は転勤の可否を判断するために、母親の健康状態に関する情報を求めることがあります。ただし、これは会社の裁量によるものであり、必ずしも診断書の提出を求めるわけではありません。

診断書の提出については、まずは会社との話し合いを通じて、どのような情報が必要とされているのか、その理由は何なのかを明確にすることが重要です。また、医療情報の取り扱いには慎重さが求められるため、医師とも相談し、必要な情報を適切に提供することが望ましいです。

最終的な判断は、家族のプライバシーと会社の要求のバランスを考慮して行うべきです。法律や会社の規則に基づいて、適切な対応を取ることが重要です。