失業保険の受給資格については、以下の点を考慮する必要があります。

まず、失業保険の受給資格を得るためには、一定の条件を満たす必要があります。具体的には、雇用保険に加入していること、被保険者期間が通算して12ヶ月以上あること、離職の理由が特定の条件に該当することなどが挙げられます。あなたの場合、6年間会社員として働いており、雇用保険に加入していると考えられるため、被保険者期間の条件は満たしていると思われます。また、うつ病による体調不良が離職の理由である場合、特定受給資格者または特定理由離職者として認定される可能性があります。

次に、無職期間の1ヶ月間についてですが、失業保険の給付は離職後一定期間（通常は7日間）の待機期間を経て開始されます。その後、給付日数に応じて失業保険が支給されます。あなたの場合、退職後1ヶ月間無職期間があるため、この期間については失業保険の給付を受けることが可能です。ただし、具体的な給付日数や金額は、あなたの離職前の賃金や被保険者期間などによって異なります。

最後に、アルバイトとして再雇用された場合の失業保険の継続受給についてです。失業保険の受給中に再就職した場合、新しい職場での労働時間や賃金が一定の条件を満たさない場合、再就職手当を受けることができる場合があります。あなたの場合、週3回、6時間のアルバイトとして働く予定であり、労働時間が週20時間未満となるため、再就職手当の対象となる可能性があります。ただし、再就職手当の受給には、再就職後の勤務先が雇用保険に加入していること、再就職後の賃金が離職前の賃金の75%未満であることなどの条件があります。

以上の点を踏まえると、あなたは失業保険の受給資格がある可能性が高いですが、具体的な受給条件や手続きについては、ハローワークなどの関係機関に相談することをお勧めします。また、アルバイト後の失業保険の継続受給についても、再就職手当の条件を確認し、必要に応じて申請を行うことが重要です。