失業保険の受給資格については、基本的には雇用保険の被保険者期間が通算して6ヶ月以上あることが必要です。あなたの場合、スーパーで1年8ヶ月働いていたため、被保険者期間は十分です。しかし、失業保険の受給には、離職理由が自己都合でないことも条件となります。自己都合退職の場合、受給までに3ヶ月の給付制限期間が設けられます。また、新しい職場で4日間しか働いていない場合、その期間は雇用保険の被保険者期間には算入されません。したがって、失業保険の受給資格に影響はありません。

離職票が届かない場合、まずはハローワークに問い合わせることをお勧めします。離職票が届かない原因を確認し、必要に応じて前の職場の本社に連絡することは可能です。ただし、離職票の発行は企業側の義務であり、適切なタイミングで発行されるべきです。連絡する際は、丁寧な言葉遣いで、離職票の発行を依頼するようにしましょう。

失業保険の受給手続きについては、ハローワークでの求職申込みが必要です。求職活動を開始し、定期的にハローワークに出向いて、失業の状態を確認される「認定日」に出席する必要があります。自己都合退職の場合、最初の3ヶ月間は給付が停止されますが、その後は通常通り失業保険が支給されます。詳細な手続きや受給額については、ハローワークの職員に確認することをお勧めします。