失業手当の受給には、一定の条件を満たす必要があります。まず、雇用保険に加入していた期間が6ヶ月以上であることが必要です。あなたの場合、1年半アルバイトでフルタイム働いていたため、この条件は満たしています。次に、自己都合退職の場合、失業手当の受給までに一定の待機期間があります。この待機期間は通常3ヶ月ですが、状況によっては延長されることもあります。あなたが9月末に退職し、10月1日にハローワークに行った場合、待機期間が終了するのは12月末頃となります。そのため、失業手当がもらえるのは1月からとなります。また、失業手当を受給しながらアルバイトをすることは可能ですが、週20時間未満の勤務である必要があります。そのため、10月8日からアルバイトを開始することは可能ですが、週20時間を超えないように注意してください。失業手当を受給しながらアルバイトをする場合、ハローワークに報告する必要があります。また、再就職が決まった場合も、速やかにハローワークに報告し、失業手当の受給を停止する手続きを行う必要があります。