傷病手当の申請は、病気や怪我で仕事を休んだ日から5日間の待機期間を経過した後に可能となります。あなたの場合、7/23(火)から仕事を休んでいるため、7/27(土)が待機期間の最終日となります。したがって、7/28(日)以降に傷病手当の申請を開始することができます。ただし、傷病手当の申請には医師の診断書や会社からの証明書などが必要となるため、早めに準備を進めることをお勧めします。また、派遣会社との連絡も重要であり、会社側からの指示に従うことが必要です。傷病手当の申請について不明な点があれば、社会保険事務所や労働基準監督署などの関係機関に相談することも有効です。