日本の労働法において、不当解雇の判断は複雑であり、具体的な事実関係に基づいて判断されます。一般的に、雇用契約が更新されない場合、特に長期間勤務していた従業員に対しては、解雇の理由が合理的であるか、解雇手続きが適切に行われたかが問題となります。

お母様のケースでは、病院の売却後に新しい雇用契約が更新されないことになった背景について、具体的な理由が示されていないため、不当解雇の可能性があります。特に、新たに雇用された従業員に仕事が任され、長年勤務してきた従業員の仕事が奪われたという状況は、解雇の合理性を疑わせる要素となります。

訴訟に向けて録音等をする場合、以下の点に注意する必要があります：

1. 法的要件：日本では、録音を証拠とする場合、相手方の同意が必要です。同意なく録音した場合、その証拠は法的に無効となる可能性があります。
2. 内容の詳細：録音内容には、解雇の理由、解雇手続きの詳細、その他関連するすべての情報を含めるようにします。特に、解雇の理由が合理的であるか、解雇手続きが適切に行われたかについての会話を含めることが重要です。
3. 証拠の保存：録音データは安全な場所に保存し、複数のバックアップを取ることをお勧めします。また、録音データの改ざんや紛失を防ぐため、専門家の助言を受けることも考慮してください。

最終的な判断については、労働問題に詳しい弁護士に相談し、具体的な法的アドバイスを受けることを強くお勧めします。