あなたの状況は非常に困難ですが、解決策がいくつかあります。まず、労働基準法に基づき、有給休暇の権利があるか確認しましょう。雇用されて6ヶ月経たない場合でも、一定の条件を満たせば有給休暇を取得できる可能性があります。具体的には、週の所定労働日数が3日以上で、週の所定労働時間が20時間以上の場合、6ヶ月間継続勤務していれば、10日間の有給休暇を取得できます。これについては、労働基準監督署に相談することをお勧めします。

次に、店長との交渉についてですが、労働基準法に違反する指示を受けた場合、その指示に従う必要はありません。代わりを自分で探すよう指示されたことは、労働基準法違反の可能性があります。この点について、労働組合や弁護士に相談することも一つの手です。

最後に、辞めるかどうかの判断ですが、現在の状況が続く場合、精神的・身体的負担が大きくなります。子供の世話と仕事の両立が難しい場合、他の働き方を検討することも必要かもしれません。例えば、在宅勤務や時間の融通がきく仕事など、家族との時間を大切にできる働き方を探すことも一つの選択肢です。

結論として、まずは労働基準監督署や労働組合に相談し、法的な権利を確認することをお勧めします。その上で、現在の状況を改善するための交渉を行い、最終的には家族との時間を大切にできる働き方を模索することが重要です。