ご質問の状況において、解雇予告手当の支払いが必要かどうかについては、労働基準法に基づいて判断する必要があります。労働基準法第20条によると、使用者は労働者を解雇する場合、少なくとも30日前に予告をするか、または30日分以上の平均賃金を支払うことが義務付けられています。これがいわゆる「解雇予告手当」です。

しかし、同法第19条には、解雇の予告をすることが困難な場合には、予告をしないで解雇することが認められています。具体的には、天災事変その他やむを得ない事由のために事業の継続が不可能となった場合や、労働者の責めに帰すべき事由に基づいて解雇する場合などがこれに該当します。

ご質問者様の場合、精神的な問題により出勤日数が足りなくなったことが解雇の理由とされていますが、これが労働者の責めに帰すべき事由に該当するかどうかは、状況によります。もし、職場でのハラスメントが原因であれば、それは会社側の責任とも考えられます。

また、解雇予告手当の支払いについては、会社が解雇予告をしなかったことに対する罰則として支払われるものです。ご質問者様が選択した解雇日が、会社の提示した選択肢の中から選ばれたものである場合、それが解雇予告手当の支払いを免れるための策であったかどうかは、法的に判断する必要があります。

このような状況では、労働基準監督署に相談することをお勧めします。労働基準監督署は、労働基準法の適用についての指導や監督を行っており、ご質問者様の状況を具体的に把握した上で、法的なアドバイスを提供してくれます。また、労働組合や弁護士に相談することも有効です。これらの専門家は、あなたの権利を守るための具体的なアクションプランを提供してくれるでしょう。