健康保険の任意継続被保険者料については、退職後も一定期間（最大2年間）健康保険の被保険者としての資格を継続することができます。これは、退職後すぐに新しい職場の健康保険に加入できない場合や、無職期間がある場合に備えるための制度です。

あなたの場合、退職日が月末の前日であり、翌月から新しい職場で働いているため、実質的に健康保険の空白期間はありません。しかし、前職の会社が任意継続保険証の加入を申請し、その納付書が届いているということは、法的にはあなたは任意継続被保険者として扱われている状態です。

資格を喪失した場合、つまり新しい健康保険証を取得した場合でも、任意継続保険証の料金は基本的には支払う必要があります。ただし、このような状況では、前職の会社に対して任意継続保険証の申請を取り消すように交渉することが可能です。具体的には、新しい職場の健康保険に加入していることを証明し、任意継続保険証が不要であることを説明することで、料金の支払いを免れる可能性があります。

また、前職の会社が退職日を強引に変更したことについては、労働基準監督署に相談することで、法的な解決を求めることもできます。ただし、これには時間と手間がかかることが予想されますので、まずは前職の会社との直接的な交渉を試みることが望ましいでしょう。