ご質問の状況について、以下に詳細な回答を提供します。

まず、会社からの更新拒否についてですが、これは会社都合の解雇と見なされる可能性があります。特に、健康上の理由が主な理由とされている場合、これは労働基準法に基づく解雇の制限に抵触する可能性があります。労働基準法では、労働者の健康を損なうような仕事の条件を理由とする解雇は禁止されています。したがって、医師からは「無理しないように程度で働けない状態ではない」と判断されているにもかかわらず、健康上の理由での解雇は法的に問題がある可能性があります。

次に、失業手当の給付についてです。会社都合の解雇と認められた場合、失業手当（雇用保険の基本手当）の給付を受けることができます。給付の手続きはハローワークで行いますが、会社都合の場合、給付までの待機期間が短縮されることがあります。具体的な手続きや給付額については、ハローワークでの相談が必要です。

また、会社が契約更新を拒否した理由が法的に問題があると判断された場合、労働基準監督署への相談や、労働審判や訴訟を通じて、法的救済を求めることも可能です。

最後に、このような状況にある場合、労働組合に加入して相談することも一つの方法です。労働組合は労働者の権利を守るための組織であり、法的なアドバイスや交渉のサポートを提供してくれます。

以上の情報を参考に、状況に応じた適切な対応を取ってください。