夜間常駐警備員としての勤務において、仮眠時間の無給と夜勤明けの公休扱いに関するトラブルについては、労働基準監督署に相談することが適切です。労働基準監督署は、労働基準法に基づいて労働条件の遵守を監督する機関であり、労働者の権利を保護するための行政指導や是正勧告を行います。具体的には、労働時間や休憩時間、休日、賃金などの労働条件に関する問題を取り扱います。

あなたの場合、仮眠時間が無給にされていることと、夜勤明けが公休扱いにされていることが問題となっています。これらは労働基準法に定められた労働条件に関する問題であり、労働基準監督署が適切な対応を行うことが期待できます。労働基準監督署に相談することで、会社に対して法的な是正勧告を受けることができ、労働条件の改善が期待できます。

一方、弁護士に相談することも一つの選択肢ですが、弁護士は法的なアドバイスを提供し、訴訟などの法的手段を取る場合に必要となります。しかし、労働条件に関する問題については、まず労働基準監督署に相談することが一般的であり、労働基準監督署が対応しきれない場合や、法的手段を取る必要がある場合に弁護士に相談することが適切です。

したがって、まずは労働基準監督署に相談し、労働条件の改善を図ることをお勧めします。労働基準監督署に相談することで、会社に対して法的な是正勧告を受けることができ、労働条件の改善が期待できます。もし、労働基準監督署の対応が不十分であったり、法的手段を取る必要がある場合には、その後に弁護士に相談することを検討してください。