社長の年齢を電話で他人に伝えてしまったことがプライバシーの侵害にあたるかどうかは、具体的な状況によります。一般的に、個人情報の保護に関する法律（個人情報保護法）により、個人のプライバシーは保護されています。しかし、社長の年齢が公開情報であったり、業務上必要な情報として提供されていた場合、プライバシーの侵害とは見なされない可能性があります。

慰謝料を払う必要があるかどうかは、法的な観点から見ても複雑です。慰謝料は通常、精神的苦痛に対して支払われるもので、その支払いが法的に認められるためには、被害者が実際に精神的苦痛を受けていることを証明する必要があります。また、労働基準法により、労働者が無理な要求に従う必要はありません。

対処方法としては、まずは冷静になり、社長との話し合いを再度行うことが重要です。その際、第三者を交えて話し合いを行うことで、公平性を保つことができます。また、労働基準監督署に相談することも一つの手段です。労働基準監督署は、労働者の権利を守るための機関であり、無料で相談を受け付けています。

最後に、その場での会話を録音していることは、法的な証拠として非常に重要です。この録音を利用して、自分の権利を守ることができます。ただし、録音の際には、相手に録音していることを伝えることが法的に求められる場合がありますので、注意が必要です。

結論として、慰謝料を払う必要があるかどうかは状況によりますが、法的な観点から見ても複雑です。冷静に対処し、労働基準監督署などの専門機関に相談することをお勧めします。