はい、派遣契約が更新されなかった場合、失業手当（雇用保険の基本手当）は契約終了月の翌月から支給される可能性があります。ただし、失業手当を受給するためには、いくつかの条件を満たす必要があります。

まず、雇用保険に加入していることが前提です。派遣労働者は通常、派遣元事業主が雇用保険に加入しているため、この条件は満たされていると考えられます。

次に、離職の理由が自己都合でないことが必要です。あなたの場合、派遣先から更新を切られたということで、自己都合による離職ではないため、この条件も満たされています。

さらに、離職後にハローワークで求職の申込みを行い、失業認定を受ける必要があります。失業認定は、離職後7日間の待機期間を経て、28日ごとに行われます。初回の失業認定日は、待機期間終了後の最寄りの認定日となります。

最後に、受給資格に応じた所定給付日数があることが必要です。所定給付日数は、年齢や離職理由、雇用保険の加入期間によって異なります。

以上の条件をすべて満たした場合、契約終了月の翌月から失業手当が支給されます。具体的な手続きや受給額については、最寄りのハローワークで詳細を確認することをお勧めします。