派遣労働者の社会保険については、基本的には正社員と同様のルールが適用されます。具体的には、健康保険、厚生年金保険、雇用保険に加入することになります。ただし、派遣労働者の場合、仕事の期間が短いことが多いため、社会保険の加入条件が正社員とは異なる場合があります。

例えば、健康保険と厚生年金保険については、派遣先企業での勤務期間が2ヶ月を超える場合に加入することになります。あなたの場合、仕事の期間が1ヶ月ちょっとなので、この条件に該当しないため、健康保険と厚生年金保険には加入しないことになります。

一方、雇用保険については、仕事の期間に関係なく、派遣会社に雇用されている限り加入することになります。そのため、派遣会社から雇用保険被保険者証のコピーを提出するよう求められたのです。

また、国保（国民健康保険）については、社会保険に加入していない場合に加入することになります。あなたの場合、健康保険に加入しないため、国保に加入することになります。国保の保険料は、所得に応じて決まるため、負担が少ないと感じることもあります。

最後に、他の派遣会社に登録する場合についてですが、基本的には各派遣会社ごとに雇用保険の加入手続きを行うことになります。ただし、雇用保険の被保険者証は一つしか持てないため、新しい派遣会社に登録する際には、前の派遣会社の雇用保険の加入手続きを終了する必要があります。この点については、各派遣会社に確認することをお勧めします。