派遣会社から個人情報の開示を求められた場合、どのように対応すべきかについては、まず個人情報保護法に基づいて慎重に判断する必要があります。個人情報保護法は、個人情報の適正な取り扱いを定めた法律であり、個人情報の提供には本人の同意が必要です。

派遣会社が個人情報を扱う会社にあなたの情報を提供することを確認するために、あなたの名前を教えてもよいかと尋ねたのは、法的に適切な手続きを踏んでいる可能性があります。しかし、その言葉遣いや状況に違和感を覚える場合は、その理由を明確にしてから同意を与えるか、または法的な観点から再考することが重要です。

個人情報の取り扱いに関しては、以下の点に注意することが推奨されます：

1. 法的要件の確認：個人情報保護法に基づき、どのような情報が提供されるのか、その目的は何か、どのように使用されるのかを明確にする。
2. 同意の明確化：情報の提供に対する同意は、明示的かつ知情的なものでなければならない。同意を得る前に、情報の使用目的、提供先、提供する情報の種類、提供の手段及び方法、同意の撤回方法などを説明する必要がある。
3. 違和感の是正：違和感を覚える場合は、その理由を派遣会社に伝え、説明を求める。必要に応じて、個人情報保護委員会や弁護士などの専門家に相談することも考えられる。

個人情報の取り扱いは、個人の権利とプライバシーを大切にするために非常に重要です。派遣会社とのコミュニケーションを通じて、安心して情報を提供できる環境を作ることが求められます。