職場でのストレスは、あなたの健康に悪影響を及ぼす可能性があります。あなたがパートを辞めると伝えた後、新しい人が来るまで待ってほしいと言われ、その通りにした結果、一ヶ月経っても新しい人が来ないという状況は、あなたのストレスを増大させていることでしょう。

まず、あなたの健康を優先することが大切です。蕁麻疹が出やすくなり、肌がボロボロになるほどのストレスは、あなたの健康に深刻な影響を与える可能性があります。あなたがこの状況を続ける理由はありません。

次に、あなたの権利について考える必要があります。労働基準法により、あなたは辞める旨を伝えた後、一定の期間（通常は2週間）を過ぎれば、即時に辞める権利があります。あなたが新しい人が来るのを待つ義務はありません。

さらに、あなたの職場が新しい人を採用するプロセスに問題がある可能性があります。一ヶ月経っても新しい人が来ないということは、職場が採用プロセスを適切に管理していないことを示しています。これは、あなたがこの職場で働くことに対する信頼を失う理由になり得ます。

最後に、あなたの心理的な健康について考える必要があります。あなたがこの状況を続けることは、あなたの心理的な健康に悪影響を与える可能性があります。あなたがこの状況を続ける理由はありません。

結論として、あなたがこの状況を続ける理由はありません。あなたの健康と権利を優先し、必要に応じて労働基準監督署に相談することをお勧めします。