失業保険の受給資格は、基本的には失業状態であることが前提となります。週20時間以上のアルバイトを行うと、その期間は失業状態ではなくなるため、失業保険の受給資格が失われる可能性があります。しかし、これまでバイトをしていなかった期間については、その期間が失業状態であれば、失業手当が給付される可能性があります。具体的には、失業保険の認定日において、その時点で失業状態であることが確認されれば、それまでの期間についても失業手当が給付されることがあります。ただし、これは個々の状況により異なるため、最終的な判断はハローワークなどの関係機関に確認することが必要です。また、失業保険の受給期間や金額は、失業前の賃金や失業期間などによって異なりますので、詳細は必ず関係機関に問い合わせることをお勧めします。