派遣社員の失業保険に関するご質問について、以下に詳しくお答えします。

まず、派遣社員の失業保険（雇用保険）の受給資格についてです。派遣社員は、雇用保険に加入している場合、失業した際に雇用保険の失業給付を受けることができます。ただし、受給資格を得るためには、一定の条件を満たす必要があります。

1. 契約更新の有無と失業保険：
   契約更新がある場合、次の更新のタイミングで更新せずに辞めた場合、基本的には「自己都合退職」となります。しかし、契約期間が満了したことにより更新しない場合、「期間満了」として扱われることがあります。この場合、失業保険の給付制限期間が短縮される可能性があります。

2. 2ヶ月ごとの更新と失業保険：
   2ヶ月ごとの更新で、2ヶ月分やりきってから次の更新をしない場合、これも「期間満了」として扱われる可能性があります。この場合、自己都合退職よりも給付制限期間が短くなる可能性があります。具体的な給付制限期間は、雇用保険法に基づいて判断されます。

3. 派遣会社からの次の派遣先紹介：
   派遣会社から辞めて1ヶ月の間に次の派遣先を紹介されない場合、これは派遣会社の責任範囲に関わる問題です。派遣会社は、派遣社員が失業しないように適切な次の派遣先を紹介する義務があります。しかし、紹介がない場合でも、失業保険の受給資格に影響を与えるものではありません。

以上の点から、派遣社員の失業保険については、契約の更新状況や期間満了の扱いが重要です。具体的な給付条件や制限期間については、ハローワークや専門の法律家に相談することをお勧めします。