失業保険の給付を受けるためには、離職票が必要です。離職票は雇用保険の被保険者であったことを証明する重要な書類であり、会社が発行しないということは通常あり得ません。会社が離職票を発行しない場合、労働基準監督署に相談することができます。また、雇用保険の加入期間が重複している場合、実際の加入期間は重複していない部分のみがカウントされます。つまり、あなたの場合、4月からの2ヶ月間が雇用保険の加入期間となります。この期間が失業保険の給付条件を満たしているかどうかは、具体的な条件によりますが、一般的には一定の加入期間が必要です。前職の最後の2月と3月に出勤がなく、4月は有給消化のみであった場合、雇用保険適用時間数に満たない可能性がありますが、失業保険給付の条件には通算の加入期間が考慮されるため、前職の勤務年数も含めて判断されることが一般的です。具体的な条件や手続きについては、ハローワークに相談することをお勧めします。