失業保険の受給資格については、基本的には退職後に一定期間の失業状態が必要です。具体的には、退職後に次の職場が決まっている場合、その勤務開始日までの間に失業状態が続くことが条件となります。

あなたの場合、4月末で退職し、次の職場が8月からの勤務ということですので、5月から7月までの間は失業状態となります。この期間が失業保険の受給要件を満たすかどうかは、具体的な条件や前職の勤続年数、退職理由などによります。

一般的に、失業保険の受給には以下の条件があります：

1. 離職前の2年間に雇用保険に12ヶ月以上加入していること。
2. 離職理由が自己都合退職である場合、待期期間（約3ヶ月）が必要。
3. 離職後、積極的に求職活動を行っていること。

あなたの場合、次の職場が既に内定しているため、厳密には「失業」とは言えないかもしれませんが、次の職場の勤務開始までの間に失業状態が続くことは確認できます。したがって、失業保険の受給資格があるかどうかは、ハローワークでの具体的な審査結果によります。

失業保険の受給を希望する場合は、退職後に速やかにハローワークに相談し、受給資格の確認と手続きを行うことをお勧めします。