失業保険の受給については、労働者が失業状態にあることが前提となります。つまり、新たに就労することで失業状態が終了し、失業保険の受給資格が失われる可能性があります。具体的には、新しいパートの就労が週20時間以上、または月収が一定額（通常は賃金日額の80%）を超える場合、失業保険の受給資格が停止されます。

しかし、あなたの場合、月12日、一日4時間以上の就労条件であれば、週20時間未満の就労となり、失業保険の受給資格が継続する可能性があります。ただし、これは各都道府県のハローワークの判断によりますので、具体的な条件や手続きについては、最寄りのハローワークに相談することをお勧めします。

また、保育園の在園資格についても、各自治体によって異なる場合があります。具体的な条件や手続きについては、子供が通う保育園または自治体の保育課に相談することをお勧めします。

このような状況では、失業保険と保育園の在園資格の両方を維持するために、ハローワークと保育園の両方と連携し、適切な就労条件を確保することが重要です。