再就職手当の受給資格については、基本的には失業保険の給付を受けている状態で再就職が決まった場合に適用されます。具体的には、以下の条件を満たす必要があります。

1. 失業保険の給付を受けていること。
2. 再就職先で1年以上の雇用が見込まれること。
3. 再就職日の前日までの失業保険の給付日数が所定給付日数の3分の1以上残っていること。
4. 過去3年以内に再就職手当を受給していないこと。
5. 再就職先が過去の就職・転職先と同一でないこと。

あなたの場合、4/19に転職先の内定を受けた状態で現職を退職し、6/1に再就職予定とのことですが、この場合、失業保険の給付を受けていない状態で再就職が決まっているため、再就職手当の受給資格は基本的にはありません。

ただし、例外として、特定受給資格者や特定理由離職者の場合、失業保険の給付を受けていなくても再就職手当の受給が認められることがあります。特定受給資格者とは、倒産、解雇、雇止めなどにより離職した者、特定理由離職者とは、結婚、出産、病気、介護などの理由で離職した者を指します。

あなたの離職理由がこれらに該当する場合、ハローワークに相談し、詳細な条件や手続きを確認することをお勧めします。また、再就職手当以外にも、就職促進給付金などの制度があるため、これらの制度も併せて確認すると良いでしょう。