失業保険の受給開始日は、基本的には最後の勤務日から起算して7日間の待機期間を経て、その翌日からとなります。したがって、最後の勤務日が5月の場合、待機期間が終了した後の6月から失業保険の受給が開始される可能性があります。具体的な日程は、雇用保険の手続きを行うハローワークでの審査結果によりますので、詳細はハローワークに確認することをお勧めします。また、失業保険の受給には、一定の条件（例えば、積極的な求職活動を行うことなど）がありますので、それらの条件を満たすようにしてください。