日本の職場では、退職の手続きは通常、一定のルールに従って行われます。あなたの場合、短期間のパートタイムとして働いていたため、手続きが簡略化される可能性がありますが、基本的な流れは以下の通りです。

まず、退職を決意した後、通常は退職願いまたは退職届を提出します。これは、退職の意思を会社に正式に伝えるためのものです。退職願いは会社の承認を必要とし、退職届は提出後一定期間（通常は2週間から1ヶ月）が経過すると効力を生じます。

次に、退職日の決定ですが、これは会社との協議によって決まります。会社側から退職日の希望を尋ねられたのは、業務の引継ぎや後任者の確保など、業務上の都合を考慮するためです。あなたが即日退職を希望した場合、会社側はその旨を承認するか、別の日程を提案することになります。

あなたが即日退職を選択したことに特別な意味はありませんが、会社側が何度も退職日を尋ねたのは、業務のスムーズな運営を確保するためです。あなたが即日退職を選択したことで、会社側は急遽対応を余儀なくされる可能性があります。

退職の手続きについては、労働基準法に基づいて行われます。労働基準法では、退職する場合には事前に30日以上の予告が必要ですが、短期間のパートタイムの場合、この規定が適用されないこともあります。ただし、会社の就業規則に特別な規定がある場合は、それに従う必要があります。

また、退職時には給与や未払い賃金、退職金などの精算が行われます。これらの手続きは、退職日までに完了することが一般的です。

以上が、日本の職場における退職手続きの基本的な流れと、あなたの状況に関連するポイントです。退職に関する具体的な手続きや日程については、会社の人事部門や上司に確認することをお勧めします。