突然の解雇通知とその理由について、あなたの状況は不当解雇の可能性があります。日本では、解雇は「客観的合理的理由」と「社会的相当性」が必要です。英語でのコミュニケーションができないという理由は、その職務において必要なスキルであるか、その欠如が業務遂行にどのように影響したかを明確に示す必要があります。また、お客とのコミュニケーションができていないという点も、具体的な事例や証拠がなければ、解雇の理由としては不十分です。

労働基準監督署に相談し、日本語での解雇通知を受け取り、解雇の拒否の意思を示したことは適切な対応です。次の仕事が決まるまで雇用を確保したい場合、会社と交渉するか、労働局の「雇用調整助成金」を利用することが考えられます。解雇時の解決金については、労働基準法に基づく解雇予告手当や賃金の請求が可能です。パワハラ上司の問題に関する解決金については、別途交渉や労働審判、裁判を通じて請求することができます。

裁判中の健康保険については、裁判期間中も基本的には健康保険は継続されますが、具体的な条件や手続きは加入している健康保険組合に確認する必要があります。また、失業保険（雇用保険）の手続きも忘れずに行い、経済的支援を受けられるようにしましょう。

これらの手続きや交渉においては、労働問題に詳しい弁護士や労働組合に相談することを強くお勧めします。彼らはあなたの権利を守り、適切な補償を得るためのサポートを提供してくれるでしょう。