退職に関するご質問について、以下に詳細な回答を提供します。

まず、雇用契約書に「退職の3ヶ月前に願い出て、承認を得て、業務の引き継ぎを行うこと」と記載されている場合、基本的にはその通りに行うことが求められます。しかし、労働基準法により、労働者はいつでも退職の申し出を行う権利を持っています。ただし、会社側には業務の引き継ぎや人員配置の調整などのために一定の猶予期間を設けることが認められています。

ご質問のケースでは、会社側が「人手不足のため人が入ってくるまではいてほしい」ということですが、これは会社の都合であり、労働者の健康や生活を犠牲にする理由とはなりません。特に、ストレスが原因で体調を崩すリスクがある場合、これは「やむを得ない理由」として認められる可能性があります。

11月上旬に退職したいという希望については、まずは会社との交渉が必要です。会社が退職の承認を出すまでに3ヶ月かかるというのは、一般的な猶予期間ですが、あなたの健康状態や他の事情を考慮して、会社がこの期間を短縮することを検討する可能性があります。

損害賠償金については、通常、退職に伴う損害賠償を請求することはありません。ただし、契約違反や会社に対する重大な損害を与える行為があった場合には、賠償請求がなされることもあります。

最後に、精神科の診断書については、それ自体が退職の理由として必要ではありませんが、会社との交渉の際に健康状態を証明する材料として役立つ可能性があります。

結論として、まずは会社との交渉を行い、あなたの健康状態や他の事情を説明し、退職の猶予期間を短縮することを提案してみてください。それでも解決しない場合は、労働基準監督署に相談することも一つの手段です。