日本の労働法において、退職は労働者の権利であり、会社が労働者に対して退職を強要することは許されません。あなたの場合、母親の介護のために退職を決意し、その旨を会社に伝えて承諾を得ているので、会社が退職を急がせるメールを送ることは適切ではありません。

労働基準法第20条によれば、労働者は退職する場合、退職の30日前までに会社に通知すればよいとされています。あなたが3月に退職する予定であれば、1月末までに退職願を提出すれば法的に問題ありません。会社が退職願の早期提出を求めるメールを送ることは、労働者の権利を侵害する行為となります。

また、会社が契約終了の通達書のような正式な書類を送らず、メールで退職を促すことも問題です。正式な手続きがないまま退職を急がされることは、労働者の権利を尊重しない行為と言えます。

このような状況では、まずは労働基準監督署に相談することをお勧めします。労働基準監督署は労働者の権利を保護し、会社の違法行為に対して是正勧告を行う権限を持っています。また、弁護士に相談して法的なアドバイスを受けることも有効です。

退職に関する手続きは、労働者の権利を尊重した適切な方法で行われるべきです。会社の無理な要求には毅然として対応し、自分の権利をしっかりと守ることが大切です。