看護学生が週20時間以上のパート勤務をすることは、法律上可能です。しかし、学生の場合、社会保険への加入に関しては一定の制限があります。

日本の社会保険制度では、週20時間以上の勤務をする場合、通常は社会保険に加入する必要があります。しかし、学生の場合、特定の条件を満たすと社会保険への加入が免除されることがあります。具体的には、学生であることを証明する書類（学生証など）を提出することで、社会保険への加入を免除されることがあります。

あなたの場合、会社から週20時間以上の勤務をすると社会保険に加入しなければならないと言われたが、学生であるため加入できないという話がありました。これは、学生であることを理由に社会保険への加入が免除される可能性があることを示しています。

したがって、週20時間以上の勤務を希望する場合、学生であることを証明する書類を会社に提出し、社会保険への加入を免除されるように交渉することが可能です。ただし、この免除はすべての会社で認められるわけではなく、会社の方針によって異なる場合があります。

また、夏休みなどの長期休暇中に週20時間以上の勤務をする場合も、同様の手続きが必要となります。学生であることを証明し、社会保険への加入を免除されるように会社と交渉することが重要です。

以上の情報を参考に、会社との交渉を進めることをお勧めします。