転職において、前の会社を特定の日に辞めて、転職先の会社に同月の特定の日から入社することは可能です。ただし、これにはいくつかの注意点があります。

まず、前の会社との契約において、退職に関する規定があるか確認する必要があります。通常、退職する場合は、退職願または退職届を提出し、会社が定める退職手続きを経る必要があります。この手続きには、退職日の決定や、退職金、未払い賃金、有給休暇の精算などが含まれます。

次に、転職先の会社についても、入社日が柔軟に調整可能か確認する必要があります。入社日が決まっている場合、前の会社の退職日との調整が必要になることがあります。また、転職先の会社によっては、入社前に健康診断や各種書類の提出が必要な場合があり、これらの手続きに時間がかかることも考慮する必要があります。

さらに、転職に伴う生活環境の変化も考慮する必要があります。例えば、引越しや住所変更、子供の学校の変更など、個々の状況に応じて必要な手続きがあります。

最後に、転職においては、法的な規制や労働基準法に基づく権利や義務を理解しておくことが重要です。例えば、退職金の支払いや、有給休暇の精算などは、労働基準法に基づいて行われます。

以上の点を考慮し、前の会社と転職先の会社の両方ともに、退職日と入社日を調整することが可能であれば、15日に退職し、21日に入社することは可能です。ただし、具体的な手続きや日程については、各会社の規定や状況に応じて調整する必要があります。