あなたの状況は非常に複雑で、仕事と家庭のバランスを取ることが難しい状況にあることが理解できます。まず、仕事を続けるか辞めるかの決定については、以下の点を考慮することが重要です。

1. 家庭の責任: あなたが家族、特に小学生の兄弟と犬の世話をする唯一の人であることは、非常に重要な責任です。これらの責任を果たすためには、一定の時間と安定した生活スケジュールが必要です。

2. 仕事の状況: 現在の仕事は給料は平均的ですが、仕事量が多く、人間関係も難しいと感じているようです。また、課を移動すると残業が増え、家庭の責任を果たすことがさらに難しくなる可能性があります。

3. 上司とのコミュニケーション: 上司はあなたの家庭の事情を理解しているようですが、それに基づいた配慮がなされていないようです。これは、仕事を続ける上でのストレス源になります。

4. 将来のキャリア: スキルアップの機会は貴重ですが、それが家庭の責任とのバランスを取ることができないのであれば、その機会を利用することが難しいかもしれません。

これらの点を踏まえると、仕事を辞めるかどうかの決定は非常に難しいものです。しかし、家庭の責任が非常に重いことを考えると、現在の仕事がそれを果たすための条件を満たしていない可能性があります。また、仕事のストレスが続くと、精神的な負担も大きくなり、家庭生活にも影響を与える可能性があります。

もし、仕事を辞めることを選ぶのであれば、次の仕事を探す際には、家庭のスケジュールとのバランスが取れる仕事を探すことが重要です。また、職業訓練や資格取得を通じて、より良い条件の仕事を見つけることも一つの選択肢です。

最終的な決定はあなた自身が下す必要がありますが、家庭の責任と仕事のバランスを取ることが最優先事項であることを忘れないでください。