失業保険を受給しながらパートで働く場合、週4日の20時間以内で働くことは基本的に条件に合います。ただし、具体的な条件や制限については、ハローワークの指示に従う必要があります。失業保険の受給中に働く場合、以下の点に注意が必要です。

1. 収入の制限: 失業保険の受給中に働く場合、収入が一定額を超えないようにする必要があります。具体的には、失業保険の基本手当日額の80%を超える収入がある場合、その分だけ失業保険の給付額が減額されます。

2. 労働時間の制限: 週20時間以内で働くことが一般的に認められていますが、これはあくまで目安であり、実際にはハローワークの指示に従う必要があります。また、週4日の20時間以内で働く場合でも、働いた日数や時間によっては失業保険の給付が制限されることがあります。

3. 申告の義務: 失業保険の受給中に働く場合、収入や労働時間をハローワークに申告する義務があります。申告を怠ると、給付が停止される可能性があります。

4. 雇用保険の加入: パートで働く場合、雇用保険に加入する必要があります。雇用保険に加入していない場合、失業保険の給付が制限されることがあります。

以上の点に注意して、ハローワークの指示に従って働くことが重要です。具体的な条件や制限については、ハローワークに相談することをお勧めします。