失業保険の受給資格は、一定の条件を満たすことが必要です。具体的には、雇用保険に加入していた期間が一定以上あり、自己都合での退職ではなく、会社都合や倒産などで失業した場合に受給資格が認められます。また、失業状態が一定期間続いていることも条件の一つです。

あなたの場合、6月末に仕事を辞め、8月15日から新しい仕事が決まったということですが、この間の期間がどのようになっているかが重要です。もし、失業状態が一定期間続いており、かつ他の条件も満たしているならば、失業保険の受給資格がある可能性があります。

しかし、8月2日に派遣会社に行き、8月15日から新しい仕事が決まったということは、失業状態が短いことを意味します。この場合、失業保険の受給資格が認められない可能性が高いです。失業保険は、失業状態が一定期間続いた後に受給資格が認められる制度であり、短期間の失業では受給資格が認められないことが一般的です。

具体的な受給資格や手続きについては、ハローワークに相談することをお勧めします。ハローワークでは、個別の状況に基づいて、失業保険の受給資格や手続きについて詳しく説明してくれます。