失業保険の手続きについて、まずはハローワークでの手続き開始時期についてですが、通常は退職後5日間の待機期間を経てから手続きを開始することができます。つまり、あなたの場合は7月に入ってから手続きを開始することが可能です。

次に、必要な書類についてですが、基本的には以下の書類が必要となります：

1. 離職票（A社とB社の両方から）
2. 雇用保険被保険者証（A社とB社の両方から）
3. 本人確認書類（運転免許証やパスポートなど）
4. 印鑑
5. 写真（3cm×2.5cm）

A社の加入期間が15年以上あるとのことですが、B社の加入期間も合算することで給付期間が延長される可能性があります。具体的には、雇用保険の加入期間が10年以上ある場合、給付期間が最長330日まで延長されることがあります。したがって、B社の書類も取得して手続きを行うことをお勧めします。

また、失業保険の手続きには、求職活動の実績が必要となります。ハローワークでは、求職活動の記録をつけるよう指導されるので、しっかりと記録を残すことが重要です。

最後に、失業保険の給付額は、退職前6ヶ月間の賃金を基に計算されます。そのため、A社とB社の賃金を合算して計算されることになりますが、具体的な給付額はハローワークでの審査結果によります。

以上が失業保険の手続きに関する基本的な情報です。詳細については、ハローワークでの相談をお勧めします。