失業手当の認定については、基本的には求職活動の実績が必要です。具体的には、失業認定日ごとに求職活動の実績を2回以上報告する必要があります。あなたの場合、最初の失業認定日4/22には説明会とwebセミナーの実績を報告して認定を受けています。しかし、次の認定日6/20については、前回の認定日から新たに2回の求職活動実績を報告する必要があります。つまり、4/22から6/20までの間に2回以上の求職活動を行い、その実績をハローワークに報告することが必要です。もし、その間に2回以上の求職活動を行っていない場合、失業認定は受けられない可能性があります。具体的な手続きや要件については、ハローワークの担当者に直接確認することをお勧めします。