失業保険の適用開始日は、基本的には失業状態になった日から起算されます。具体的には、派遣契約が満了し、仕事が継続できなくなった日の翌日から失業保険の給付が開始される可能性があります。ただし、失業保険を受給するためには、ハローワークでの手続きが必要です。まず、失業状態になった日から7日間の待機期間が設けられており、この期間は給付金が支給されません。待機期間終了後、ハローワークで失業認定日に失業状態が確認されると、その日の翌日から給付金が支給されます。具体的な手続きや必要書類については、最寄りのハローワークに問い合わせることをお勧めします。