失業手当（雇用保険の基本手当）の申請は、離職した日から1年以内に行う必要があります。あなたの場合、最初の正社員としての退職から既に1年以上経過しているため、遡っての申請はできません。ただし、アルバイト勤務の会社が倒産したことによる退職の場合、その退職日から1年以内であれば申請が可能です。離職届や喪失証明が届く前に再就職先が決まった場合、基本的には失業手当の申請はできなくなります。再就職手当の申請が可能な場合もありますが、それは失業手当の受給資格者が安定した職業に就くことができない場合に限られます。具体的な条件や手続きについては、ハローワークに相談することをお勧めします。