自己都合で退職した後にアルバイトを始めた場合、失業保険の申請については、いくつかの条件を満たす必要があります。まず、退職後にハローワークに求職の申込みを行い、失業認定を受ける必要があります。次に、アルバイトを始めた場合でも、その収入が一定の基準を下回る場合に限り、失業保険の給付を受けることができます。具体的には、アルバイトの収入が失業保険の基本手当日額の80%未満である場合に、その差額分が失業保険として支給されます。ただし、アルバイトの収入が基本手当日額の80%以上になると、失業保険は支給されません。また、アルバイトを始めたことで、再就職したとみなされる可能性もあり、その場合は失業保険の給付が打ち切られることもあります。したがって、失業保険の申請を考えている場合は、ハローワークに相談し、具体的な条件や手続きを確認することをお勧めします。