失業手当（雇用保険の基本手当）を受け取るためには、一定の条件を満たす必要があります。まず、雇用保険に加入していた期間が重要です。新卒で入社し、1年間働いた場合、雇用保険の被保険者期間は12ヶ月以上となり、失業手当を受け取る資格があります。ただし、その後1ヶ月間別の会社で働いたことで、失業状態が連続していないため、失業手当の受給資格が影響を受ける可能性があります。

再就職手当については、失業手当の受給資格者が、基本手当の支給残日数が所定給付日数の3分の1以上ある場合に、安定した職業に就いた場合に支給されます。あなたの場合、10月1日に再就職しているため、再就職手当の対象となるかどうかは、ハローワークでの手続きと審査結果によります。

具体的な手続きや審査基準については、ハローワークに直接相談することをお勧めします。ハローワークでは、個別の状況に基づいて詳細なアドバイスを提供してくれます。