試用期間中に退職する場合、正規雇用の書類にサインしないことで退職が成立するかどうかは、会社の規則や労働契約によります。一般的に、労働者は退職の意思を会社に伝える必要がありますが、書面での通知が必要かどうかは会社の規定によります。もし書面での通知が必要な場合、サインしないことで退職が成立しない可能性があります。

また、日本の労働基準法では、退職する場合には最低2週間前に会社に通知することが求められています。このルールは試用期間中であっても適用されます。したがって、試用期間を残すところ10日という状況で退職する場合、月を跨いで就労する必要があるかどうかは、退職通知のタイミングによります。もし退職通知をすでに行っている場合、その通知が2週間前に行われていれば、月を跨いで就労する必要はありません。ただし、通知が遅れている場合は、2週間のルールに従い、月を跨いで就労する必要があるかもしれません。

このような状況では、会社の人事部門や労働組合に相談することを強くお勧めします。彼らは具体的な状況に基づいて、最適なアドバイスを提供してくれるでしょう。