不当解雇については、労働基準法第10条に基づき、解雇が「客観的合理的理由」と「社会的相当性」を欠く場合に不当解雇とされます。あなたの場合、解雇理由が虚偽であることや、サービス残業の強要拒否が理由となっていることから、不当解雇に該当する可能性が高いと考えられます。

弁護士の選び方については、まず労働問題に特化した弁護士を探すことが重要です。労働組合や法律相談所で紹介してもらうのも一つの方法です。また、初回相談が無料の弁護士事務所もありますので、そのような事務所を利用するのも良いでしょう。

必要書類については、解雇通知書、解雇理由証明書、給与明細、賞与明細、タイムカードのコピーが基本となります。また、退職した同僚との間でのメールやチャットの記録、退職理由に関する証拠資料も重要です。

解雇日を提示された場合、原則として従う必要がありますが、不当解雇の場合は労働基準監督署に申告することで、解雇の効力を止めることが可能です。ただし、これには迅速な行動が求められますので、弁護士に相談して対応を検討することをお勧めします。