はい、社会保険の履歴に残ります。日本の社会保険制度では、雇用保険と厚生年金保険、健康保険があります。これらの保険は、基本的には入社した時点で加入することになります。ただし、実際に保険料が徴収されるのは、入社から数週間後の給与からとなることが一般的です。

あなたの場合、9月24日に入社し、10月7日に退職しています。この期間は短いですが、入社した時点で社会保険に加入しているため、その履歴は残ります。ただし、実際に保険料が徴収されるかどうかは、入社から退職までの期間と給与支払いのタイミングによります。

また、退職後は、退職した日から14日以内に、市区町村の窓口で国民健康保険と国民年金に加入する必要があります。これにより、社会保険の履歴は引き続き残りますが、保険料の支払い先が変わることになります。

社会保険の履歴は、将来の年金受給や雇用保険の給付などに影響するため、正確に管理することが重要です。退職後も、社会保険の履歴を確認し、必要な手続きを行うようにしましょう。