ご質問ありがとうございます。まず、雇用保険に関してですが、雇用保険は労働者が失業した場合に一定期間、失業給付を受けられる制度です。雇用保険に加入するためには、雇用主が労働者を雇用した際に、雇用保険に加入する手続きを行う必要があります。契約書に雇用保険があると記載されていたにもかかわらず、実際には加入手続きが行われていなかった場合、雇用主には法律違反があったということになります。

次に、診療代の10割の差額分の負担についてですが、これは医療保険の問題になります。医療保険は、労働者が病気やケガをした場合に、医療費の一部を負担してくれる制度です。しかし、雇用保険に加入していなかったため、医療費の全額を自己負担することになったとのことです。この場合、雇用主に対して、雇用保険の加入手続きが行われなかったことによる損害賠償を請求することが考えられます。具体的には、弁護士に相談し、雇用主と交渉することをお勧めします。

また、離職票がない場合でも、雇用保険の失業給付を受けることができる場合があります。具体的には、雇用主が離職票を発行しなかった場合、労働者はハローワークに相談し、失業認定申告書を提出することで、失業給付を受けることができる可能性があります。

最後に、新しい保険証を作るのに時間がかかる場合、医療費の支払いが困難な場合は、医療機関に相談し、分割払いや後払いの制度を利用することができる場合があります。

以上がご質問に対する回答です。具体的な手続きや交渉については、専門家に相談することをお勧めします。