契約期間終了と解雇は、労働者の雇用状態を終了させる二つの異なる方法です。契約期間終了は、労働契約に定められた期間が満了した場合に発生し、通常、契約の更新がない限り、雇用関係は終了します。一方、解雇は雇用主が労働者の雇用を一方的に終了させることで、労働基準法により一定の手続きが定められています。

試用期間中の解雇について、労働基準法第20条は、解雇予告制度を規定しています。具体的には、解雇する場合には30日前までに予告をするか、または予告に代わる手当（予告手当）を支払わなければなりません。ただし、試用期間中の労働者については、この規定が適用されない場合があります。試用期間は、労働者と雇用主が相互に適格性を確認するための期間とされており、通常、労働契約書に試用期間中の解雇に関する特別な規定が記載されていることがあります。

ご質問のケースでは、最初の3か月の試用期間が終了し、次の3か月の契約が口頭で提案されたものの、その後、契約が結べないと通知されたという状況です。会社側は契約期間満了による雇止めと主張していますが、9月1日に次の契約をすると言われたにもかかわらず、10日後に契約できないと言われたことは、解雇の可能性を示唆しています。

解雇であるかどうかを判断するには、労働契約の内容、特に試用期間中の解雇に関する条項を確認することが重要です。また、解雇の場合には、労働基準法の解雇予告制度が適用されるかどうかも確認が必要です。会社側が解雇ではないと主張する理由が契約期間満了であるとするならば、その根拠となる契約書の条項を確認することが求められます。

最終的な判断については、ハローワークに相談することが推奨されます。ハローワークは労働問題に関する専門的な助言を提供し、状況に応じた適切なアドバイスを行ってくれます。