コンビニでのアルバイト中に日付ハンコを破損してしまった場合、弁償の必要性は状況によります。一般的に、業務中に発生した事故については、使用者（この場合はコンビニチェーン）が責任を負うべきです。ただし、故意または重大な過失による損害については、労働者が弁償責任を負うことがあります。しかし、通常の業務中の不注意による損害については、使用者が責任を負うべきであり、労働者に弁償を求めることは適切ではありません。具体的な対応については、労働基準監督署や弁護士に相談することをお勧めします。