職場に在籍中に他の会社に就職することは、基本的に可能です。ただし、これは会社の就業規則や契約内容によります。一部の会社では、在籍中の転職を禁止している場合もありますので、まずは就業規則を確認することが重要です。

退職届の提出について、会社の規定で1ヶ月前に提出することが求められている場合、その規定に従うことが一般的です。あなたの場合、先月に退職の相談をしているため、今月末に退職届を提出することは合理的です。ただし、具体的な対応は会社との協議を通じて決定することが望ましいです。

10月に入ってからの就職については、退職後の期間が短いため、新しい会社によっては雇用についての判断が難しい場合があります。しかし、これは必ずしも難しいとは限りません。新しい会社に対して、退職の理由や期間の短さについて説明することで、理解を得られる可能性もあります。

まとめると、在籍中の転職は可能ですが、就業規則を確認することが重要です。退職届の提出については会社の規定に従い、新しい会社への就職については、退職の理由や期間の短さについて説明することが望ましいです。