失業手当を受給しながらパートタイムで働く場合、労働時間や収入によっては失業手当が減額されることがあります。あなたの場合、失業認定日に週2～3日4時間15分勤務と記載した結果、雇用形態を証明する書類の提出を求められたとのことです。このような状況では、まずは雇用主とのコミュニケーションが重要です。雇用主に対して、失業保険の申請に必要な書類（タイムカードやシフト表など）の作成を依頼することが考えられます。もし雇用主が書類の作成に協力してくれない場合、自身で勤務時間を記録したメモや給与明細など、可能な限りの証拠を集めて提出することが必要です。また、ハローワークに直接相談し、状況を説明して適切なアドバイスを受けることも有効です。失業手当の受給には正確な情報の提供が求められるため、雇用形態や勤務時間に関する証明書類の提出は避けられない手続きです。