あなたの状況について深く理解しました。まず、有給休暇の付与日数については、労働基準法に基づいて決定されます。具体的には、週所定労働日数が4日以上、年間所定労働日数が169日以上の場合、勤務半年後に7日、1年半後に8日の有給休暇が付与されることになります。あなたの場合、勤務1年半経過時点で8日の有給休暇が付与されるべきであり、さらに半年前の7日分も含めて15日分の有給休暇が付与されるべきです。

あなたの職場が8日分のみを支給したということは、労働基準法に違反している可能性があります。労働基準監督署に相談した際に、再計算の依頼をして有給の買取をしないとのことであれば、泣き寝入りするか民事で争うかと言われたことは、法的な観点からの適切なアドバイスです。

しかし、マネージャーの子どもとあなたの子どもが同じ学年・同じ学校のため、民事で争うことを避けたいというあなたの考えも理解できます。その場合、まずは職場の人事部門や社長に対して、法的な根拠に基づいて有給休暇の再計算を求めることが考えられます。法的な文書を用意し、冷静かつ丁寧に説明することで、理解を得られる可能性があります。

また、労働組合に加入している場合や、地域の労働組合に相談することも一つの方法です。労働組合は労働者の権利を守るための専門的な知識と経験を持っており、あなたの状況に対して適切なアドバイスや支援を提供してくれる可能性があります。

最後に、あなたが職場での経験や貢献を評価されていることは、この問題を解決する上での一つの強みとなります。あなたの頑張りや貢献を再認識させることで、職場側も柔軟に対応してくれる可能性があります。

以上の方法を試しても解決しない場合には、法的手段を検討することも必要かもしれませんが、まずは法的根拠に基づいた説明と交渉を試みることをお勧めします。